Περίεργοι Αριθμοί: Μια Σπάνια και Γοητευτική Γωνιά της Θεωρίας Αριθμών

Στον κόσμο των φυσικών αριθμών υπάρχουν πολλές κατηγορίες με ιδιότητες ξένες προς την καθημερινή εμπειρία: τέλειοι αριθμοί, φιλικοί αριθμοί, άφθονοι αριθμοί. Ανάμεσά τους, όμως, ξεχωρίζει μια ασυνήθιστη και σπάνια οικογένεια: οι περίεργοι αριθμοί (weird numbers). Πρόκειται για αριθμούς που συνδυάζουν «πλούτο» και «αταξία» στους διαιρέτες τους, με έναν τρόπο που τους κάνει διαφορετικούς από όλες τις υπόλοιπες γνωστές κατηγορίες.

Τι είναι ένας περίεργος αριθμός;

Ένας φυσικός αριθμός $n$ ονομάζεται περίεργος αν ικανοποιεί δύο ταυτόχρονα ιδιότητες:

1. Είναι άφθονος (abundant)

Το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του —δηλαδή όλων των διαιρετών εκτός από τον ίδιο τον αριθμό— είναι μεγαλύτερο από τον ίδιο.

Αν συμβολίσουμε με $\sigma(n)$ το άθροισμα όλων των διαιρετών του $n$, τότε:

$$\sigma (n)-n>n⟺\sigma (n)>2n\mathrm{.}$$

Με άλλα λόγια, οι διαιρέτες του αριθμού «μαζεύουν» περισσότερη αξία από όσο έχει ο ίδιος.

2. Δεν είναι ημιτέλειος (semiperfect)

Παρόλο που το συνολικό άθροισμα των διαιρετών του είναι μεγάλο, κανένα υποσύνολο των γνήσιων διαιρετών του δεν μπορεί να δώσει ως άθροισμα τον ίδιο τον αριθμό.

Αυτή είναι η κρίσιμη ιδιότητα: ένας περίεργος αριθμός δεν μπορεί να «αναδομηθεί» από τους διαιρέτες του.

---

Το κλασικό παράδειγμα: ο αριθμός 70

Ο μικρότερος γνωστός περίεργος αριθμός είναι ο 70. Δείτε πώς ικανοποιεί τις δύο ιδιότητες.

1. Ο 70 είναι άφθονος

Οι γνήσιοι διαιρέτες του 70 είναι:

$$1,2,5,7,10,14,35.$$

Το άθροισμά τους:

$$1+2+5+7+10+14+35=74.$$

Αφού $74 > 70$, ο αριθμός 70 είναι άφθονος.

2. Ο 70 δεν είναι ημιτέλειος

Για να είναι ημιτέλειος, θα έπρεπε να υπάρχει κάποιος συνδυασμός από τους παραπάνω διαιρέτες που να αθροίζει ακριβώς 70.
Αν όμως δοκιμάσουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς, διαπιστώνουμε ότι:

• είτε ξεπερνούν το 70,

• είτε μένουν μικρότεροι από αυτό,

• αλλά ποτέ δεν δίνουν ακριβώς 70.

Έτσι, ο 70 είναι άφθονος αλλά όχι ημιτέλειος, άρα ανήκει στους περίεργους αριθμούς.

---

Γιατί είναι τόσο ξεχωριστοί;

Οι περίεργοι αριθμοί τραβούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών για πολλούς λόγους:

1. Είναι σπάνιοι

Οι πρώτοι  περίεργοι αριθμοί είναι:

$$70,836,4030,5830,7192,7912,9272,10430,\dots$$

Συνολικά, είναι πολύ λιγότεροι από άλλες κατηγορίες όπως οι άφθονοι αριθμοί.

2. Δεν έχει βρεθεί κανένας μονός περίεργος αριθμός

Όλοι οι γνωστοί περίεργοι αριθμοί είναι άρτιοι.
Το αν υπάρχουν μονοί περίεργοι αριθμοί παραμένει ανοικτό πρόβλημα στα μαθηματικά.
Η πλειονότητα των ειδικών υποψιάζεται πως πιθανότατα δεν υπάρχουν, αλλά ακόμη δεν υπάρχει απόδειξη.

3. Ωστόσο γνωρίζουμε ότι υπάρχουν άπειροι περίεργοι αριθμοί

Παρά την πολυπλοκότητά τους, οι μαθηματικοί έχουν αποδείξει ότι το πλήθος τους είναι άπειρο.

4. Συνδέονται με τους «πρωτόγονους άφθονους αριθμούς»

Ένας αριθμός λέγεται πρωτόγονα άφθονος αν είναι άφθονος, αλλά κανένας μικρότερος διαιρέτης του δεν είναι άφθονος.
Πολλοί περίεργοι αριθμοί ανήκουν σε αυτή την ιδιαίτερη υποκατηγορία.

---

Συμπέρασμα

Οι περίεργοι αριθμοί αποτελούν μία από τις πιο ενδιαφέρουσες και μυστηριώδεις οικογένειες στη θεωρία αριθμών.
Συνδυάζουν πλούτο σε διαιρέτες αλλά με τόσο «ασύμμετρο» τρόπο, ώστε καμία επιλογή από αυτούς να μην μπορεί να αναπαράγει τον ίδιο τον αριθμό.

Ο αριθμός 70 αποτελεί το πρώτο και χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της ασυνήθιστης συμπεριφοράς, ανοίγοντας την πόρτα σε έναν κόσμο γεμάτο ανοιχτά προβλήματα, σπάνια μοτίβα και μαθηματικά μυστήρια.