Φίλιοι αριθμοί

Φίλιοι αριθμοί! 

Οι φίλιοι αριθμοί είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά θέματα στη θεωρία αριθμών. Ας δούμε τι ξέρουμε γι' αυτούς.

Ορισμός

Δύο φυσικοί αριθμοί m και n λέγονται φίλιοι (amicable numbers) αν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του m είναι ίσο με n και ταυτόχρονα το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του n είναι ίσο με m.

Μαθηματικά, αν συμβολίσουμε με s(n) το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του n 

(δηλαδή s(n)=σ(n)−n, όπου σ(n) είναι το άθροισμα όλων των διαιρετών του n), τότε:

                                        s(m)=n και s(n)=m

ή ισοδύναμα:

                                        σ(m)=σ(n)=m+n

 Το Ιστορικό Πρωτοπόρο Ζεύγος

Το κλασικό και μικρότερο ζεύγος φίλιων αριθμών είναι:

                                                                        220 και 284

• Γνήσιοι διαιρέτες του 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Άθροισμα: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

• Γνήσιοι διαιρέτες του 284: 1, 2, 4, 71, 142.

Άθροισμα: 1+2+4+71+142=220

Αυτό το ζεύγος ήταν γνωστό από την αρχαιότητα και αποδιδόταν στον Πυθαγόρα, ο οποίος το θεωρούσε σύμβολο φιλίας.

Τι Ξέρουμε Για Αυτούς

1. Πλήθος: Μέχρι σήμερα, έχουν ανακαλυφθεί εκατομμύρια ζεύγη φίλιων αριθμών. Ωστόσο, δεν ξέρουμε αν υπάρχουν άπειρα τέτοια ζεύγη. Αυτό είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα στα μαθηματικά.
2. Ισοτιμία: Τα περισσότερα γνωστά ζεύγη είναι ζεύγη άρτιων αριθμών. Ωστόσο, υπάρχουν και ζεύγη όπου ο ένας αριθμός είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Δεν είναι γνωστό κανένα ζεύγος δύο περιττών φίλιων αριθμών, αλλά δεν έχει αποδειχτεί ότι δεν υπάρχουν. Είναι ένα ακόμη ανοιχτό πρόβλημα.
3. Μέθοδοι Εύρεσης: Η ανακάλυψη νέων ζευγών γίνεται κυρίως μέσω υπολογιστικών προγραμμάτων. Μια σημαντική μέθοδος για την εύρεση φίλιων αριθμών σχετίζεται με τους Ταυτοποιητές Θιβίτ (Thābit ibn Qurra's formula).

Ο Θιβίτ ανακάλυψε ότι αν για n>1 οι αριθμοί:

        p = 3 × 2ⁿ⁻¹ - 1
        q = 3 × 2ⁿ - 1
        r = 9 × 2²ⁿ⁻¹ - 1

είναι όλοι πρώτοι αριθμοί, τότε οι αριθμοί:

                    2ⁿ × p × q  και  2ⁿ × r

είναι φίλιοι.

Για n=2 παίρνουμε το κλασικό ζεύγος:

             ( 2² × 5 × 11 , 2² × 71 ) = ( 4 × 55 , 4 × 71 ) = ( 220 , 284 ).

4. Σχέση με άλλους αριθμούς:

• Τέλειοι αριθμοί: Είναι μια ειδική κατηγορία όπου s(n)=n (π.χ. 6, 28, 496). Οι τέλειοι αριθμοί είναι "φίλιοι με τον εαυτό τους".
• Κοινωνικοί αριθμοί: Είναι μια γενίκευση. Σε μια ακολουθία κοινωνικών αριθμών, το s(n) του τελευταίου αριθμού οδηγεί πίσω στον πρώτο, δημιουργώντας έναν κύκλο (π.χ. κύκλος μήκους 3: A → B → C → A).

Παραδείγματα Άλλων Ζευγών

• (1184, 1210) - Ανακαλύφθηκε από τον Πάγκαλ ντε Μπεσύ το 1636.
• (17,296, 18,416) - Ανακαλύφθηκε από τον Φερμά.
• (9,363,584, 9,437,056) - Ανακαλύφθηκε από τον Ντεκάρτ.
• Το μεγαλύτερο γνωστό ζεύγος έχει χιλιάδες ψηφία.

Σύνοψη

Συνοψίζοντας, ξέρουμε ότι οι φίλιοι αριθμοί:

• Υπάρχουν και έχουν μελετηθεί εδώ και χιλιάδες χρόνια.
• Υπάρχουν εκατομμύρια από αυτούς.
• Μπορούμε να τους βρίσκουμε με προηγμένους αλγορίθμους και τύπους.

Αλλά δεν ξέρουμε ακόμη:

• Αν υπάρχουν άπειρα ζεύγη.
• Αν υπάρχει ζεύγος δύο περιττών αριθμών.

Είναι ένας συναρπαστικός τομέας όπου η απλή αριθμητική οδηγεί σε βαθιά και ακόμη άλυτα μαθηματικά μυστήρια.



📊 Μαθηματική Φιλία: Οι αριθμοί 220 & 284 είναι φίλιοι - το άθροισμα των διαιρετών του ενός ισούται με τον άλλο! Ανακαλύψτε τον αρχαίο τύπο που δημιουργεί άπειρα τέτοια ζεύγη και τα μυστήρια που ακόμη περιμένουν λύση. #ΦίλιοιΑριθμοί #ΘεωρίαΑριθμών