Το Παράδοξο του Μόντυ Χολ: Πρέπει Πάντα να Αλλάζεις Πόρτα;

Φαντάσου ότι βρίσκεσαι σε ένα τηλεπαιχνίδι. Μπροστά σου υπάρχουν τρεις πόρτες:

• Πίσω από μία βρίσκεται ένα αυτοκίνητο.

• Πίσω από τις άλλες δύο, κατσίκες.

Διαλέγεις μια πόρτα – π.χ. την Πόρτα 1.
Ο παρουσιαστής (ο Μόντυ Χολ), που ξέρει τι κρύβει κάθε πόρτα, ανοίγει μία από τις άλλες δύο, π.χ. την Πόρτα 3, δείχνοντας μια κατσίκα.

Και τότε σου κάνει την κρίσιμη ερώτηση:

Θέλεις να αλλάξεις επιλογή; Να πας στην Πόρτα 2;

Οι περισσότεροι σκέφτονται:
«Τώρα μένουν δύο πόρτες, άρα 50-50».

Όμως αυτό είναι λάθος.
Η πιθανότητα δεν είναι 50%. Αν αλλάξεις πόρτα, αυξάνεις την πιθανότητα νίκης στο 66.6%!

Καλωσορίσατε στο θαυμάσιο, αντιδιαισθητικό Παράδοξο του Μόντυ Χολ.

---

Γιατί το Λέμε Παράδοξο;

Γιατί η φαινομενικά λογική μας λέει ότι μετά το άνοιγμα της πόρτας, οι πιθανότητες πρέπει να είναι ισότιμες — όμως δεν είναι.

Το μυαλό μας αγνοεί το γεγονός ότι:

• Η αρχική επιλογή είχε 1/3 πιθανότητα να είναι σωστή.

• Άρα είχε 2/3 πιθανότητα να είναι λάθος.

• Ο παρουσιαστής ανοίγει πάντα πόρτα με κατσίκα.

• Κι έτσι, η πιθανότητα 2/3 μεταφέρεται ολόκληρη στην πόρτα που απέμεινε.

---

Η Μαθηματική Απόδειξη

Ας το δούμε βήμα-βήμα.

Αρχική κατάσταση

• Πόρτα 1 (η επιλογή σου):

  $$P(\text{αυτοκ}\acute{\text{ι}}\text{νητο})=\frac{1}{\mathrm{3}}$$

• Οι άλλες δύο πόρτες μαζί:

  $$P(\text{αυτοκ}\acute{\text{ι}}\text{νητο})=\frac{2}{\mathrm{3}}$$

Ο παρουσιαστής ανοίγει πάντα πόρτα με κατσίκα

Αυτό σημαίνει πως η επιλογή του δεν είναι τυχαία.
Δεν μπορεί να ανοίξει την πόρτα με το αυτοκίνητο.

Άρα:

• Η αρχική σου επιλογή μένει με πιθανότητα 1/3.

• Οι «άλλες δύο πόρτες» μετατρέπονται, μετά το άνοιγμα, σε μία πόρτα με πιθανότητα 2/3.

Τελικό αποτέλεσμα:

$$P(\text{νίκη αν αλλάξεις}) = \frac{2}{3}$$ $$P(\text{νίκη αν μείνεις}) = \frac{1}{3}$$

Η αλλαγή πόρτας διπλασιάζει τις πιθανότητές σου.

---

Ο Πίνακας των Πιθανοτήτων

Επιλογή	Πιθανότητα Νίκης
Μένεις στην αρχική πόρτα	33.3%
Αλλάζεις πόρτα	66.6%

---

Διαίσθηση: Γιατί Συμβαίνει Αυτό;

Ο πιο εύκολος τρόπος να το καταλάβουμε είναι να σκεφτούμε ότι:

• Στην αρχή έχεις 1/3 πιθανότητα να είσαι σωστός.

• Στις 2/3 περιπτώσεις έχεις επιλέξει λάθος πόρτα.

Αν έχεις επιλέξει λάθος πόρτα (που συμβαίνει πιο συχνά), τότε η αλλαγή πόρτας διορθώνει το λάθος σου.

Ο παρουσιαστής δεν ανοίγει τυχαία πόρτα. Ανοίγει μια πόρτα που ξέρει ότι έχει κατσίκα, «αφαιρώντας» μία λάθος επιλογή από τις 2/3.

Έτσι οι πιθανότητες συσσωρεύονται στη μοναδική πόρτα που απομένει.

---

Ένα Παράδειγμα με 100 Πόρτες

Αν δεν σε πείθει το παράδοξο με 3 πόρτες, σκέψου το εξής:

• Υπάρχουν 100 πόρτες.

• Διαλέγεις μία. Πιθανότητα σωστής επιλογής:

  $$\frac{1}{\mathrm{100}}$$

• Ο παρουσιαστής ανοίγει 98 πόρτες με κατσίκες.

• Μένει μόνο μία κλειστή πόρτα εκτός από τη δική σου.

Ποια πόρτα έχει το αυτοκίνητο;

Προφανώς η άλλη, γιατί το να πέσεις σωστά από την αρχή έχει πιθανότητα 1%.

Τώρα καταλαβαίνεις γιατί με 3 πόρτες η πιθανότητα είναι 2/3.

---

Το Παράδοξο στην Πραγματική Ζωή

Το Παράδοξο του Μόντυ Χολ δεν είναι μόνο τηλεπαιχνίδι.

Εμφανίζεται σε:

• Αποφάσεις με εμφανείς και κρυφές πληροφορίες

• Στατιστικά παιχνίδια και τυχερά παιχνίδια

• Αλγορίθμους επιλογής

• Machine learning (conditional probabilities)

Είναι ένα από τα πιο διάσημα παραδείγματα για το πώς η διαίσθηση μπορεί να μας παραπλανήσει πλήρως.

---

Το Βασικό Μάθημα

Το Παράδοξο του Μόντυ Χολ μας διδάσκει:

• Να μην εμπιστευόμαστε πάντα την «πρώτη ματιά» στις πιθανότητες.

• Να προσέχουμε την επίδραση της πληροφορίας που αποκαλύπτεται.

• Ότι συχνά αυτό που μας φαίνεται «50-50»… δεν είναι καθόλου έτσι!

Και, φυσικά:

Στο Μόντυ Χολ, αλλάζουμε ΠΑΝΤΑ πόρτα.