Pierre de Fermat: Μαθηματική Ανασκόπηση και Θεωρητικά Αποτελέσματα

1. Εισαγωγή

Ο Pierre de Fermat (1607–1665) υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 17ου αιώνα. Παρά το γεγονός ότι η μαθηματική του παραγωγή δημοσιεύτηκε ελάχιστα κατά τη διάρκεια της ζωής του, οι επιστολές και οι σημειώσεις του επηρέασαν βαθιά τη θεωρία αριθμών, τη διαφορική γεωμετρία και τη θεωρία πιθανοτήτων. Ο Fermat εισήγαγε μεθόδους που αποτέλεσαν πρόδρομο του λογισμού, καθώς και θεμελιώδεις έννοιες της σύγχρονης θεωρίας αριθμών.

---

2. Μικρό Θεώρημα του Fermat

2.1 Διατύπωση

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός και $a \in \mathbb{Z}$ τέτοιος ώστε $\gcd(a,p)=1$. Τότε:

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$

2.2 Απόδειξη μέσω ομάδων

1. Θεωρούμε το πολλαπλασιαστικό σύνολο των μη μηδενικών στοιχείων modulo $p$:

$$(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times }=\{1,2,\dots ,p-1\}\mathrm{.}$$

2. Κάθε στοιχείο $a$ που δεν είναι πολλαπλάσιο του $p$ έχει ανάστροφο modulo $p$, άρα η απεικόνιση:

$$f:(\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times }\to (\mathbb{Z}\mathrm{/}p\mathbb{Z}{)}^{\times },f(x)=a\cdot x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

είναι αναδιάταξη των στοιχείων.

3. Πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία:

$$1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1)\equiv a\cdot 2a\cdot \cdots \cdot (p-1)a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$

4. Στη δεξιά πλευρά:

$$a^{p-1}\cdot (1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (p-1))\mathrm{.}$$

5. Διαιρώντας με $(p-1)!$ (μη μηδενικό modulo $p$) παίρνουμε:

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\mathrm{.}$$

2.3 Εφαρμογές

Το θεώρημα χρησιμοποιείται εκτενώς στην κρυπτογραφία (π.χ., RSA) και στη θεωρία αριθμών για την επίλυση διακριτών λογαριθμικών προβλημάτων.

---

3. Θεώρημα για το Άθροισμα Δύο Τετραγώνων

3.1 Διατύπωση

Ένας πρώτος αριθμός $p$ μπορεί να εκφραστεί ως $p = x^2 + y^2$ με ακέραιους $x,y$ αν και μόνο αν:

$$p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$

3.2 Ιστορικό και απόδειξη

• Το θεώρημα αναπτύχθηκε από τον Fermat και αποτέλεσε αργότερα αντικείμενο συστηματικής μελέτης από τον Gauss.

• Η απόδειξη χρησιμοποιεί ιδιότητες των Gaussian integers $\mathbb{Z}[i] = \{a+bi : a,b\in\mathbb{Z}\}$ και δείχνει ότι πρώτοι $p \equiv 1 \pmod{4}$ διασπώνται στο $\mathbb{Z}[i]$.

---

4. Το Μεγάλο Θεώρημα του Fermat

4.1 Διατύπωση

Για κάθε ακέραιο $n>2$, η εξίσωση:

$$x^n+y^n=z^n$$

δεν έχει μη μηδενικές ακέραιες λύσεις.

4.2 Ιστορικό

• Ο Fermat σημείωσε το θεώρημα σε περιθώριο βιβλίου του Diophantus το 1637, υποστηρίζοντας ότι είχε μια "θαυμάσια απόδειξη".

• Το θεώρημα παρέμεινε ανεπίλυτο μέχρι το 1994, όταν ο Andrew Wiles το απέδειξε χρησιμοποιώντας ελλειπτικές καμπύλες και θεωρία Galois.

4.3 Σημασία

Το θεώρημα ενέπνευσε ανάπτυξη σύγχρονων εργαλείων θεωρίας αριθμών, όπως modular forms και ελλειπτικές καμπύλες.

---

5. Διαφορική Γεωμετρία και Μέγιστα-Ελάχιστα

Ο Fermat ανέπτυξε μεθόδους για τον εντοπισμό μέγιστων και ελαχίστων τιμών συναρτήσεων. Η μέθοδός του περιλάμβανε την ισότητα:

$$f(x+ϵ)-f(x)=0\text{(για μικρ}\acute{\text{ο}}ϵ)$$

και αποτέλεσε πρόδρομο του λογισμού. Χρησιμοποιήθηκε για:

• Εύρεση εφαπτομένων σε καμπύλες.

• Βελτιστοποίηση συναρτήσεων.

---

6. Θεωρία Πιθανοτήτων

Σε συνεργασία με τον Blaise Pascal, ο Fermat ερεύνησε προβλήματα στοιχημάτων και ανάπτυξης της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως:

• Κατανομή κερδών σε ημιτελείς αγώνες.

• Υπολογισμός προσδοκίας.

Αυτές οι μελέτες αποτέλεσαν τη βάση για τη σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων.

---

7. Συμπέρασμα

Ο Fermat υπήρξε πολυδιάστατος μαθηματικός: η θεωρία αριθμών, η διαφορική γεωμετρία και η θεωρία πιθανοτήτων επηρεάστηκαν βαθιά από τις ιδέες του. Τα θεωρήματά του, όπως το Μικρό Θεώρημα του Fermat, το θεώρημα για το άθροισμα δύο τετραγώνων και το Μεγάλο Θεώρημα, αποτελούν ακρογωνιαίους λίθους της μαθηματικής σκέψης, ενώ οι μέθοδοι του προαναγγέλλουν σύγχρονα μαθηματικά εργαλεία.

---