Παίζοντας με Πιθανότητες: Το Μαγικό Παράδοξο των Γενεθλίων

Αν σας έλεγα ότι σε ένα δωμάτιο με μόλις 23 άτομα υπάρχει πάνω από 50% πιθανότητα δύο από αυτά να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα, θα με πιστεύατε;

Κι όμως, είναι αλήθεια. Και αν τα άτομα γίνουν 50, η πιθανότητα εκτοξεύεται στο 97%!

Καλωσορίσατε στο ένα από τα πιο διασκεδαστικά και αντιδιαισθητικά παράδοξα των πιθανοτήτων: Το Παράδοξο των Γενεθλίων. Μοιάζει με μαγεία – αλλά είναι καθαρά μαθηματικά.

---

Η Ερώτηση που Μας Ξαφνιάζει

Η κλασική ερώτηση είναι:

Πόσα άτομα χρειάζονται ώστε η πιθανότητα δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα να ξεπεράσει το 50%;

Η διαισθητική απάντηση που δίνουν οι περισσότεροι είναι κάπου κοντά στο 183 (τα μισά από τις 365 ημέρες του έτους).
Η πραγματική απάντηση όμως είναι… 23.

---

Γιατί Συμβαίνει Αυτό; – Το Μυστικό είναι στην Αντίθετη Πιθανότητα

Αντί να υπολογίσουμε την πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα κοινό ζευγάρι γενεθλίων, είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογίσουμε την αντίθετη πιθανότητα:

Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα γενέθλια να είναι διαφορετικά;

Αν αυτή η πιθανότητα βρίσκεται κάτω από 50%, τότε η πιθανότητα ύπαρξης κοινών γενεθλίων βρίσκεται πάνω από 50%.

---

Ο Υπολογισμός για Ν = 23

Για 23 άτομα:

• Το πρώτο άτομο μπορεί να έχει γενέθλια οποιαδήποτε ημέρα:

  $$\frac{365}{\mathrm{365}}$$

• Το δεύτερο πρέπει να αποφύγει την ημέρα του πρώτου:

  $$\frac{364}{\mathrm{365}}$$

• Το τρίτο πρέπει να αποφύγει δύο ημέρες:

  $$\frac{363}{\mathrm{365}}$$

Και συνεχίζουμε έτσι μέχρι το 23ο άτομο.

Η συνολική πιθανότητα όλα τα γενέθλια να είναι διαφορετικά είναι:

$$P(\text{όλα διαφορετικά}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365-22}{365}$$

Σε πιο συμπαγή μορφή:

$$P(\acute{\text{ο}}\text{λα διαφορετικ}\acute{\text{α}})=\frac{365!}{(365-23)!\cdot {365}^{\mathrm{23}}}$$

Υπολογίζοντας:

$$P(\acute{\text{ο}}\text{λα διαφορετικ}\acute{\text{α}})\approx 0.4927$$

Άρα:

$$P(\text{τουλ}\acute{\text{α}}\text{χιστον }\acute{\text{ε}}\text{να κοιν}\acute{\text{ο}}\text{ ζευγ}\acute{\text{α}}\text{ρι})=1-0.4927=0.5073$$

Δηλαδή 50.73%.

Με μόλις 23 άτομα, περνάμε το 50%!

---

Ο Πίνακας της Έκπληξης

Αριθμός Ατόμων	Πιθανότητα Κοινών Γενεθλίων
10	11.7%
15	25.3%
23	50.7%
30	70.6%
40	89.1%
50	97.0%
60	99.4%
70	99.9%

Η αύξηση είναι εντυπωσιακά γρήγορη.
Στα 70 άτομα είναι πρακτικά βέβαιο ότι θα υπάρχει κοινό ζευγάρι γενεθλίων.

---

Γιατί το λέμε «Παράδοξο»;

Γιατί πηγαίνει κόντρα στη διαίσθησή μας.

Ο εγκέφαλός μας σκέφτεται συνήθως γραμμικά (π.χ. «πόσοι έχουν την ίδια μέρα με μένα;»).
Όμως εδώ οι πιθανές συγκρίσεις αυξάνονται εκθετικά.

Με 23 άτομα υπάρχουν:

$$\frac{23\times 22}{2}=253$$

πιθανά ζευγάρια που θα μπορούσαν να μοιράζονται γενέθλια!
Αυτά τα 253 πιθανά «ζευγαρώματα» είναι αρκετά για να ρίξουν τις πιθανότητες των μοναδικών ημερομηνιών κάτω από το 50%.

---

Δοκιμάστε το στην Πράξη!

Θέλετε να εντυπωσιάσετε παρέα ή μαθητές;

• Σε μια συνάντηση με πάνω από 30 άτομα, ρωτήστε «Ποιος έχει γενέθλια στις 15 Μαρτίου;»
  Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να βρείτε ζευγάρι.

• Σε τάξη ή γραφείο με ~23 άτομα, ζητήστε να σημειώσουν όλοι τα γενέθλιά τους.
  Στα μισά περίπου δείγματα θα υπάρξει κοινό ζευγάρι.

---

Πού εμφανίζεται αλλού αυτό το παράδοξο;

Το φαινόμενο δεν περιορίζεται στα γενέθλια. Έχει σημαντικές εφαρμογές:

• Κρυπτογραφία – collision probability σε hash functions (birthday attack)

• Βιολογία – πιθανότητες αντιστοίχισης DNA

• Προγραμματισμός – πιθανότητα σύγκρουσης hash σε δεδομένα

• Αθλητισμός – σε ομάδα 23 παικτών, πιθανότατα δύο να γιορτάζουν την ίδια μέρα

---

Το Βασικό Μάθημα

Το Παράδοξο των Γενεθλίων μας διδάσκει δύο πράγματα:

1. Η διαίσθησή μας στις πιθανότητες συχνά μάς ξεγελά.

2. Οι συνδυασμοί αυξάνονται πολύ γρήγορα – εκθετικά — δημιουργώντας αποτελέσματα που φαίνονται “μαγικά”.

Την επόμενη φορά που θα είστε σε μια ομάδα 20–30 ατόμων, ρίξτε μια ματιά γύρω.
Οι πιθανότητες λένε ότι κάποιοι γύρω σας μοιράζονται τον ίδιο… μυστικό εορτασμό.

Και αυτό δεν είναι μαγεία. Είναι Αριθμο-μαγεία ✨

---

Στο Επόμενο Άρθρο…

Θα εξερευνήσουμε το διάσημο Παράδοξο του Μόντυ Χολ – όπου το να αλλάξετε πόρτα διπλασιάζει τις πιθανότητες να κερδίσετε το αυτοκίνητο!