Évariste Galois και η Θεωρία Galois: Αναλυτική Εισαγωγή

1. Ιστορικό Πλαίσιο

Ο Évariste Galois (1811–1832) γεννήθηκε στη Γαλλία και από πολύ νωρίς έδειξε εξαιρετικό μαθηματικό ταλέντο. Η εποχή του χαρακτηριζόταν από προσπάθειες επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων. Μέχρι τότε, ήταν γνωστός ο τύπος για την επίλυση εξισώσεων 2ου, 3ου και 4ου βαθμού. Όμως, η γενική εξίσωση 5ου βαθμού (και άνω) φαινόταν ανεπίλυτη με ρίζες.

Ο Galois εισήγαγε μια νέα προσέγγιση: αντί να προσπαθεί να βρει άμεσα τύπους για τις ρίζες, μελέτησε τις συμμετρίες των ριζών και τον τρόπο που αυτές αλληλεπιδρούν αλγεβρικά. Με αυτό τον τρόπο δημιούργησε τη θεωρία που σήμερα φέρει το όνομά του.

---

2. Βασικές Έννοιες

Η θεωρία Galois συνδέει άλγεβρα, πεδία και ομάδες. Οι βασικές έννοιες είναι:

2.1 Πεδία (Fields)

Ένα πεδίο είναι ένα σύνολο $F$ με δύο πράξεις $+$ και $\cdot$, όπου ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

1. $(F, +)$ είναι αβελιανή ομάδα.

2. $(F \setminus \{0\}, \cdot)$ είναι αβελιανή ομάδα.

3. Ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ για όλα τα $a, b, c \in F$.

Παραδείγματα: $\mathbb{Q}$ (ρητοί), $\mathbb{R}$ (πραγματικοί), $\mathbb{C}$ (μιγαδικοί).

---

2.2 Επεκτάσεις πεδίου (Field Extensions)

Αν $F \subseteq K$, τότε λέμε ότι $K$ είναι επέκταση πεδίου του $F$, και γράφουμε $K/F$.

• Αν $α \in K$ είναι ρίζα ενός πολυωνύμου $f(x) \in F[x]$, τότε το μικρότερο πεδίο που περιέχει $F$ και $α$ ονομάζεται πεδίο διαφυγής του $α$.

• Παράδειγμα: Για $f(x) = x^2 - 2$, η ρίζα $\sqrt{2}$ οδηγεί στην επέκταση $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$.

---

2.3 Ομάδες Galois (Galois Groups)

Η ομάδα Galois μιας επέκτασης $K/F$ είναι η ομάδα όλων των αυτομορφισμών του πεδίου $K$ που αφήνουν σταθερά όλα τα στοιχεία του $F$:

$$\text{Gal}(K\mathrm{/}F)=\{\sigma :K\to K\mid \sigma \text{ ε}\acute{\text{ι}}\text{ναι αυτομορφισμ}\acute{\text{ο}}\text{ς και }\sigma (a)=a\mathrm{\forall }a\in F\}\mathrm{.}$$

Αυτοί οι αυτομορφισμοί περιγράφουν τις συμμετρίες των ριζών του πολυωνύμου.

---

3. Το Κεντρικό Πρόβλημα: Επίλυση Πολυωνυμικών Εξισώσεων

Μια εξίσωση $f(x) = 0$ είναι επιλύσιμη με ρίζες αν οι ρίζες της μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας:

• Τους αριθμούς του πεδίου $F$
  

• Τις πράξεις $+,-,\cdot, /$
  

• Την εξαγωγή ριζών ($\sqrt[n]{\ }$)

Ο Galois απέδειξε ότι η επιλυσιμότητα εξαρτάται από τη δομή της ομάδας Galois.

---

4. Το Θεώρημα Galois

Το Θεώρημα Galois δημιουργεί μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση μεταξύ:

1. Υποομάδων της ομάδας Galois $G = \text{Gal}(K/F)$
   

2. Υποπεδίων της επέκτασης $K/F$
   

Λεπτομέρειες

• Αν $H \leq G$ είναι υποομάδα, τότε το υποπεδίο:

$$K^H=\{x\in K\mid \sigma (x)=x\mathrm{\forall }\sigma \in H\}$$

αντιστοιχεί στην υποομάδα $H$.

• Αν $E$ είναι υποπεδίο με $F \subseteq E \subseteq K$, τότε η ομάδα:

$$\text{Gal}(K\mathrm{/}E)=\{\sigma \in G\mid \sigma (x)=x\mathrm{\forall }x\in E\}$$

αντιστοιχεί στο πεδίο $E$.

Η δομή της ομάδας καθορίζει την επιλυσιμότητα του πολυωνύμου.

---

5. Επιλύσιμα Πολυώνυμα και Επιλύσιμες Ομάδες

Ένα πολυώνυμο $f(x)$ είναι επιλύσιμο με ρίζες αν και μόνο αν η ομάδα Galois του είναι επιλύσιμη ομάδα.

• Μια ομάδα $G$ είναι επιλύσιμη αν υπάρχει αλυσίδα υποομάδων:

$$\{1\}=G_0◃G_1◃\cdots ◃G_n=G$$

όπου κάθε πηλίκο $G_{i+1}/G_i$ είναι αβελιανή.

Παράδειγμα:

• Το πολυώνυμο $x^5 - x - 1 \in \mathbb{Q}[x]$ έχει ομάδα Galois $S_5$ (όλες οι μεταθέσεις 5 στοιχείων).

• Το $S_5$ δεν είναι επιλύσιμη ομάδα → Δεν υπάρχει τύπος με ρίζες για την επίλυση της εξίσωσης.

---

6. Παράδειγμα: Εξίσωση Τετάρτου Βαθμού

Έστω το πολυώνυμο $x^4 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$.

• Ρίζες: $\pm \sqrt[4]{2}, \pm i\sqrt[4]{2}$

• Πεδίο διαφυγής: $K = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, i)$
  

• Ομάδα Galois: $\text{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong D_4$ (ομάδα συμμετριών τετραγώνου, επιλύσιμη)

• Συμπέρασμα: $x^4 - 2$ είναι επιλύσιμο με ρίζες (συμβαίνει και με τύπο τύπου Ferrari).

---

7. Επιρροή και Σύγχρονες Εφαρμογές

Η θεωρία Galois είναι θεμέλιο της:

• Σύγχρονης άλγεβρας

• Θεωρίας αριθμών (π.χ. Θεώρημα Φερμά)

• Κρυπτογραφίας (π.χ. πεδία πεπερασμένων αριθμών)

• Θεωρίας κωδίκων και πληροφοριών

Επιπλέον, η έννοια των ομάδων και πεδίων που εισήγαγε ο Galois διαμορφώνει τη σύγχρονη θεωρία συμμετρίας σε φυσική και χημεία.

---

8. Συμπέρασμα

Ο Évariste Galois αναγέννησε την άλγεβρα, δείχνοντας ότι οι συμμετρίες των ριζών είναι πιο θεμελιώδεις από τους τύπους επίλυσης.
Η θεωρία του:

• Συνδέει πολυωνύμια, ομάδες και πεδία

• Δίνει αλγεβρικά εργαλεία για την κατανόηση της επιλυσιμότητας

• Έχει διαχρονική σημασία σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και των εφαρμοσμένων επιστημών

Παρά τη σύντομη ζωή του, η μαθηματική κληρονομιά του Galois είναι τεράστια και συνεχίζει να εμπνέει.