Στοιχεία του Ευκλείδη: Το Θεμέλιο της Γεωμετρίας
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη: Το δεύτερο πιο εκδοθέν βιβλίο στην ιστορία, μετά τη Βίβλο
Φανταστείτε ένα βιβλίο που γράφτηκε πριν από περισσότερα από 2.300 χρόνια και παραμένει μέχρι σήμερα ένα από τα πιο επιδραστικά συγγράμματα στην ιστορία της ανθρώπινης σκέψης. Δεν πρόκειται για μυθιστόρημα ούτε για φιλοσοφική πραγματεία, αλλά για ένα μαθηματικό σύγγραμμα: τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.
Η σημασία του υπερβαίνει κατά πολύ τα όρια της γεωμετρίας, καθώς καθιέρωσε για πρώτη φορά ένα αυστηρό αξιωματικό σύστημα, θέτοντας τα θεμέλια για την επιστημονική μεθοδολογία όπως τη γνωρίζουμε σήμερα.
Σε αυτό το άρθρο, θα εξερευνήσουμε την ιστορία, τη δομή, το περιεχόμενο και τη διαχρονική κληρονομιά αυτού του μοναδικού έργου. Θα δούμε γιατί τα «Στοιχεία» δεν είναι απλώς ένα βιβλίο γεωμετρίας, αλλά το θεμέλιο ολόκληρης της μαθηματικής σκέψης.
Η επίδρασή τους είναι τόσο βαθιά που ακόμα και σήμερα, στις τάξεις των σχολείων σε όλο τον κόσμο, οι μαθητές διδάσκονται γεωμετρία βασισμένη στα «Στοιχεία».
📖 Σε αυτόν τον οδηγό:
👨🏫 Ποιος ήταν ο Ευκλείδης και γιατί το έργο του παραμένει διαχρονικό;
Ο Ευκλείδης (περ. 325 π.Χ. – 265 π.Χ.) υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της αρχαιότητας. Παρά την τεράστια φήμη του, γνωρίζουμε εκπληκτικά λίγα για τη ζωή του.
Έδρασε στην Αλεξάνδρεια κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ του Σωτήρα (323-283 π.Χ.), όπου ίδρυσε ουσιαστικά τη σχολή των μαθηματικών στην περίφημη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας.
Ένας θρύλος αναφέρει ότι όταν ο Πτολεμαίος τον ρώτησε αν υπάρχει συντομότερος δρόμος για τη γεωμετρία από τα «Στοιχεία», ο Ευκλείδης απάντησε την ιστορική φράση: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία» — δηλαδή, δεν υπάρχει εύκολος, σύντομος δρόμος για να μάθει κανείς μαθηματικά, ακόμα και για έναν βασιλιά.
Το όνομά του έχει συνδεθεί άρρηκτα με τη γεωμετρία, ωστόσο τα «Στοιχεία» δεν είναι απλώς ένα βιβλίο γεωμετρίας. Είναι μια συλλογή και συστηματική οργάνωση όλης της μαθηματικής γνώσης της εποχής του, συμπεριλαμβανομένων έργων προγενέστερων μαθηματικών όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Εύδοξος, ο Θεαίτητος και ο Ιπποκράτης ο Χίος.
Ο Ευκλείδης δεν ήταν απαραίτητα ο εφευρέτης των περισσότερων θεωρημάτων που περιλαμβάνονται στα «Στοιχεία» — η μεγαλοφυΐα του έγκειται στον τρόπο που τα οργάνωσε και τα παρουσίασε.
Ακολούθησε την αξιωματική μέθοδο: ξεκίνησε από λίγες, αυτονόητες αρχές (αξιώματα και αιτήματα) και μέσα από αυστηρή λογική συναγωγή (αποδείξεις), οικοδόμησε σταδιακά ένα ολόκληρο μαθηματικό οικοδόμημα.
Αυτή η λογική δομή αποτέλεσε το πρότυπο για την επιστημονική συγγραφή για τους επόμενους αιώνες. Τα «Στοιχεία» είναι το δεύτερο πιο εκδοθέν βιβλίο στην ιστορία (μετά τη Βίβλο), με περισσότερες από 1.000 εκδόσεις από την εφεύρεση της τυπογραφίας (1450 μ.Χ. και μετά).
📚 Η δομή των «Στοιχείων»: Δεκατρία βιβλία που άλλαξαν τον κόσμο
Τα «Στοιχεία» αποτελούνται από 13 βιβλία (τόμους), τα οποία καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών εννοιών. Συνολικά περιέχουν 133 ορισμούς, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες και 465 προτάσεις (θεωρήματα και κατασκευές).
Η διάρθρωσή τους είναι εμβληματική για την οργάνωση της επιστημονικής γνώσης. Ας τα δούμε αναλυτικά:
📐 Βιβλία I – IV: Επίπεδη Γεωμετρία
Αυτά είναι και τα πιο γνωστά βιβλία, όπου ο Ευκλείδης εκθέτει τη θεωρία της επίπεδης γεωμετρίας.
Το Βιβλίο I ξεκινά με τους περίφημους 23 ορισμούς (σημείο, γραμμή, ευθεία, επιφάνεια, κύκλος, ορθή γωνία κ.λπ.), τα 5 αιτήματα (postulates) και τις 5 κοινές έννοιες (αξιώματα, π.χ. «τα ίσα στο ίδιο είναι ίσα μεταξύ τους»). Σε αυτό το βιβλίο αποδεικνύεται, μεταξύ άλλων, το Πυθαγόρειο θεώρημα (πρόταση 47), καθώς και τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.
- Βιβλίο I (23 όροι, 48 προτάσεις): Θεμελιώδεις ορισμοί, αξιώματα, αιτήματα, ιδιότητες τριγώνων, παράλληλες ευθείες, το Πυθαγόρειο θεώρημα.
- Βιβλίο II (2 όροι, 14 προτάσεις): Γεωμετρική άλγεβρα – σχέσεις εμβαδών που αντιστοιχούν σε αλγεβρικές ταυτότητες (π.χ. (α+β)² = α² + 2αβ + β²).
- Βιβλίο III (11 όροι, 37 προτάσεις): Θεωρία του κύκλου – χορδές, εφαπτόμενες, εγγεγραμμένες και επίκεντρες γωνίες, δυναμική σημείου.
- Βιβλίο IV (7 όροι, 16 προτάσεις): Κατασκευές κανονικών πολυγώνων (τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο, δεκαπεντάγωνο) εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων σε κύκλο.
📊 Βιβλία V – VI: Αναλογίες και Όμοια Σχήματα
Το Βιβλίο V (18 όροι, 25 προτάσεις) περιέχει τη γενική θεωρία των αναλογιών, όπως αναπτύχθηκε από τον Εύδοξο (408-355 π.Χ.), η οποία επέτρεψε την αντιμετώπιση ασύμμετρων μεγεθών (άρρητων αριθμών, όπως η √2) χωρίς τη χρήση δεκαδικών — ένα εντυπωσιακό επίτευγμα για την αρχαία ελληνική μαθηματική σκέψη.
Το Βιβλίο VI (5 όροι, 33 προτάσεις) εφαρμόζει αυτή τη θεωρία στη γεωμετρία, πραγματευόμενο τα όμοια σχήματα και τις αναλογίες των πλευρών τους.
🔢 Βιβλία VII – IX: Αριθμητική (Θεωρία Αριθμών)
Παρά τη γεωμετρική προσέγγιση, τα βιβλία αυτά είναι αφιερωμένα στην θεωρία αριθμών. Εδώ ο Ευκλείδης παρουσιάζει θεμελιώδεις έννοιες και αλγόριθμους:
- Βιβλίο VII (23 όροι, 39 προτάσεις): Διαιρετότητα, πρώτοι αριθμοί, μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) – παρουσιάζεται ο περίφημος Αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του ΜΚΔ δύο αριθμών, ο παλαιότερος αλγόριθμος που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στην επιστήμη υπολογιστών.
- Βιβλίο VIII (27 προτάσεις): Γεωμετρικές πρόοδοι και αναλογίες αριθμών.
- Βιβλίο IX (36 προτάσεις): Εφαρμογές της θεωρίας αριθμών – αποδεικνύεται το θεώρημα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (πρόταση 20), ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα σε ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών.
🧮 Βιβλίο X: Άρρητοι Αριθμοί
Αυτό είναι το μεγαλύτερο σε όγκο βιβλίο των «Στοιχείων» (4 όροι, 115 προτάσεις, συν 12 επιπλέον ορισμούς). Πραγματεύεται την ταξινόμηση των ασύμμετρων (άρρητων) μεγεθών, θέτοντας τις βάσεις για την κατανόηση των τετραγωνικών ριζών και των σχέσεών τους.
Οι σύγχρονοι μελετητές πιστεύουν ότι ο Ευκλείδης βασίστηκε σε μεγάλο βαθμό στο έργο του Θεαίτητου (417-369 π.Χ.) για αυτό το βιβλίο.
🧊 Βιβλία XI – XIII: Στερεομετρία (Γεωμετρία του Χώρου)
Τα τρία τελευταία βιβλία είναι αφιερωμένα στη γεωμετρία του χώρου, κορυφώνοντας με τη μελέτη των πέντε Πλατωνικών στερεών.
- Βιβλίο XI (28 όροι, 39 προτάσεις): Βασικές αρχές στερεομετρίας – επίπεδα, ευθείες στον χώρο, στερεές γωνίες, όγκοι παραλληλεπιπέδων.
- Βιβλίο XII (18 προτάσεις): Μέθοδος της εξάντλησης (που αναπτύχθηκε από τον Εύδοξο) – αποδεικνύεται ότι οι κύκλοι έχουν αναλογία ίση με το τετράγωνο των διαμέτρων τους και ότι οι όγκοι κώνων και πυραμίδων είναι το 1/3 των αντίστοιχων κυλίνδρων και πρισμάτων.
- Βιβλίο XIII (18 προτάσεις): Κορύφωση του έργου – κατασκευή και ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών (κύβος, τετράεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) και η απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο πέντε. Αυτό το βιβλίο συνδέει τη γεωμετρία με την κοσμολογία των Πλατωνικών στερεών.
📐 Η Αξιωματική Μέθοδος: Ο Νομοθέτης των Μαθηματικών
Αν υπάρχει ένα στοιχείο που κάνει τα «Στοιχεία» μοναδικά, αυτό είναι η αυστηρή αξιωματική τους δομή. Ο Ευκλείδης δεν άφησε τίποτα στη διαίσθηση. Ξεκίνησε με 23 ορισμούς, 5 αιτήματα (postulates) και 5 κοινές έννοιες (axioms). Από αυτά τα 33 αρχικά στοιχεία, απέδειξε διαδοχικά 465 προτάσεις.
Τα 5 αιτήματα (postulates) του Ευκλείδη είναι:
- Από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε σημείο μπορεί να φερθεί ευθεία γραμμή.
- Κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκταθεί συνεχώς σε ευθεία γραμμή.
- Με οποιοδήποτε κέντρο και οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να γραφεί κύκλος.
- Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
- Το περίφημο πέμπτο αίτημα (αίτημα των παραλλήλων) – διατυπώνεται ως εξής: «Και εάν εις δύο ευθείας εμπίπτουσα ευθεία τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονας ποιή, εκβαλλομένας τας δύο ευθείας επ' άπειρον συμπίπτειν, εφ' ά μέρη εισίν αί των δύο ορθών ελάσσονες» (δηλαδή: αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες, αν προεκταθούν επ' άπειρο, θα συναντηθούν από την πλευρά όπου βρίσκονται οι μικρότερες γωνίες).
Το πέμπτο αίτημα αποτέλεσε για αιώνες μια πρόκληση. Για περισσότερα από 2.000 χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να το αποδείξουν από τα άλλα τέσσερα αιτήματα.
Η προσπάθεια αυτή οδήγησε στην ανάπτυξη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών τον 19ο αιώνα από τους Lobachevsky, Bolyai και Riemann, αποδεικνύοντας ότι το πέμπτο αίτημα είναι ανεξάρτητο από τα άλλα — και ότι υπάρχουν συνεπείς γεωμετρίες όπου δεν ισχύει.
Αυτή η ανακάλυψη έφερε επανάσταση στα μαθηματικά και τη φυσική (η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν χρησιμοποιεί μη Ευκλείδεια γεωμετρία).
🌍 Η επιρροή των «Στοιχείων» στην επιστήμη και την εκπαίδευση
Η σημασία των «Στοιχείων» εκτείνεται πολύ πέρα από τα μαθηματικά. Αποτέλεσαν το βασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας για σχεδόν δύο χιλιετίες, μέχρι τις αρχές του 20ού αιώνα.
Κάθε μορφωμένος άνθρωπος στην Ευρώπη, τον αραβικό κόσμο και αργότερα την Αμερική, μελετούσε Ευκλείδη. Η επιρροή του είναι εμφανής σε πολλούς τομείς:
- Στα μαθηματικά: Καθιέρωσε την απόδειξη ως τον μοναδικό τρόπο θεμελίωσης της μαθηματικής αλήθειας. Οι σύγχρονες μαθηματικές δομές (ομάδες, σώματα, διανυσματικοί χώροι) ακολουθούν το ίδιο αξιωματικό πρότυπο.
- Στη φιλοσοφία και την επιστημολογία: Φιλόσοφοι όπως ο Μπαρούχ Σπινόζα (1632-1677), στο έργο του «Ηθική», μιμήθηκαν την ευκλείδεια δομή (ορισμοί, αξιώματα, θεωρήματα) για να παρουσιάσουν τη φιλοσοφική τους σκέψη με απόλυτη λογική αυστηρότητα.
- Στη φυσική: Ο Ισαάκ Νεύτωνας (1643-1727) οργάνωσε το αριστούργημά του «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» (Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας) σύμφωνα με το ευκλείδειο πρότυπο, ξεκινώντας με ορισμούς και αξιώματα (νόμους της κίνησης) για να οικοδομήσει στη συνέχεια ολόκληρη τη θεωρία της βαρύτητας.
- Στη νομική επιστήμη: Η λογική δομή των «Στοιχείων» επηρέασε την ανάπτυξη συστηματικών νομικών κωδίκων, όπου από γενικές αρχές προκύπτουν εξειδικευμένοι κανόνες.
- Στην αρχιτεκτονική και την τέχνη: Η ευκλείδεια προοπτική και οι γεωμετρικές αναλογίες υπήρξαν θεμελιώδεις για την Αναγέννηση (π.χ. οι πίνακες του Piero della Francesca, ο οποίος έγραψε και πραγματεία για τη γεωμετρία).
💡 Γιατί τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη παραμένουν επίκαιρα;
Στην εποχή της τεχνολογίας και της υπολογιστικής ισχύος, πολλοί ίσως αναρωτιούνται αν η μελέτη ενός αρχαίου γεωμετρικού συγγράμματος έχει νόημα. Η απάντηση είναι κατηγορηματικά θετική.
Η αξία των «Στοιχείων» δεν έγκειται τόσο στις συγκεκριμένες γνώσεις, όσο στη νοοτροπία που καλλιεργούν:
- 🧠 Καλλιέργεια της λογικής σκέψης: Η μελέτη των αποδείξεων εκπαιδεύει τον νου να σκέφτεται με δομημένο, αιτιολογημένο και απαγωγικό τρόπο. Είναι η καλύτερη γυμναστική για τον εγκέφαλο.
- 🎨 Κατανόηση της μαθηματικής ομορφιάς: Η απλότητα και η κομψότητα των αποδείξεων, όπως αυτής για το άπειρο των πρώτων αριθμών (Βιβλίο IX, Πρόταση 20) ή για την ισότητα των γωνιών στη βάση ισοσκελούς τριγώνου (Βιβλίο I, Πρόταση 5, το «pons asinorum»), αποτελούν ένα διαχρονικό μάθημα αισθητικής.
- 🏗️ Θεμέλιο για προχωρημένα πεδία: Η κατανόηση της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την κλασική μηχανική, την αρχιτεκτονική, τη γραφιστική με υπολογιστή (CAD), τη ρομποτική, την τρισδιάστατη μοντελοποίηση και πολλά πεδία της μηχανικής.
- 📜 Ιστορική αυτογνωσία: Η μελέτη των «Στοιχείων» μας συνδέει με την ίδια την πορεία της ανθρώπινης διάνοιας, δείχνοντάς μας πώς οικοδομήθηκε σταδιακά το επιστημονικό μας οικοδόμημα. Είναι μια μορφή πνευματικής αρχαιολογίας.
- 🔢 Βάση για την κρυπτογραφία: Η θεωρία αριθμών που θεμελιώθηκε στα Βιβλία VII-IX αποτελεί σήμερα τη βάση της σύγχρονης κρυπτογραφίας (RSA, ψηφιακές υπογραφές, ασφαλείς συναλλαγές στο διαδίκτυο).
📜 Πρωτογενής πηγή – Το αυθεντικό κείμενο
📖 Διαβάστε τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη στην αρχαία ελληνική γλώσσα:
Η σελίδα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου (Τομέας Φυσικής) προσφέρει πλήρη καταγραφή και των 13 βιβλίων, με όλους τους ορισμούς (133), τα 5 αιτήματα, τις 9 κοινές έννοιες και τις 465 προτάσεις. Είναι μια ανεκτίμητη ψηφιακή αρχειοθέτηση του πρωτότυπου κειμένου, διαθέσιμη δωρεάν σε όλους.
🔗 Ανοίξτε το πρωτότυπο κείμενο →
Πηγή: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο – Τὰ Στοιχεῖα Εὐκλείδου (ψηφιακή αρχειοθέτηση)
❓ Συχνές Ερωτήσεις (FAQ)
🔹 Πόσα βιβλία έχουν τα Στοιχεία του Ευκλείδη;
Τα «Στοιχεία» αποτελούνται από 13 βιβλία. Κάλυπταν όλη τη γνωστή μαθηματική γνώση της εποχής, από την επίπεδη γεωμετρία και την αριθμητική μέχρι τη στερεομετρία.
🔹 Τι είναι το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη;
Το πέμπτο αίτημα (αίτημα των παραλλήλων) λέει ότι αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες ευθείες και οι εντός γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές, τότε οι δύο ευθείες θα συναντηθούν. Η προσπάθεια απόδειξής του οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών.
🔹 Γιατί λέγεται «Αλγόριθμος του Ευκλείδη»;
Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» (Βιβλίο VII, Προτάσεις 1 και 2) περιέγραψε μια μέθοδο για την εύρεση του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο αριθμών. Είναι ο αρχαιότερος αλγόριθμος που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στην επιστήμη υπολογιστών.
🔹 Ποια είναι η σημασία της φράσης «Δεν υπάρχει βασιλική οδός προς τη γεωμετρία»;
Η φράση αυτή, που είπε ο Ευκλείδης στον Πτολεμαίο, σημαίνει ότι δεν υπάρχει εύκολος ή σύντομος δρόμος για να μάθει κανείς μαθηματικά. Ακόμα και ένας βασιλιάς πρέπει να μελετήσει με την ίδια προσπάθεια όπως όλοι οι άλλοι.
🔹 Πόσες αποδείξεις περιέχουν τα Στοιχεία;
Τα «Στοιχεία» περιέχουν 465 προτάσεις (θεωρήματα και γεωμετρικές κατασκευές), η καθεμία με την αυστηρή απόδειξή της.
🏆 Κληρονομιά και συμπέρασμα
Η πορεία των «Στοιχείων» μέσα στην ιστορία είναι συναρπαστική: από την ελληνιστική Αλεξάνδρεια μεταφέρθηκαν στον αραβικό κόσμο (μεταφράστηκαν από τον Χατζάτζ ιμπν Γιουσούφ ιμπν Ματάρ τον 8ο αιώνα), από εκεί στην αναγεννησιακή Ευρώπη (η πρώτη έντυπη έκδοση τυπώθηκε στη Βενετία το 1482 από τον Εράρδο Ράτολτ), και στη συνέχεια σε ολόκληρο τον κόσμο.
Σήμερα, είναι διαθέσιμα δωρεάν σε ψηφιακή μορφή χάρη σε ακαδημαϊκές πρωτοβουλίες όπως αυτή του ΕΜΠ.
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη δεν είναι απλώς ένα αρχαίο βιβλίο μαθηματικών. Είναι ένα σύμβολο της ανθρώπινης ικανότητας για αφαίρεση, λογική και συστηματική σκέψη.
Η μετάδοσή τους από την ελληνιστική Αλεξάνδρεια στον αραβικό κόσμο, και από εκεί στην αναγεννησιακή Ευρώπη, αποτελεί μια συναρπαστική ιστορία γνώσης που υπερβαίνει πολιτισμούς και αιώνες.
Σήμερα, καθώς η τεχνητή νοημοσύνη και τα προηγμένα μαθηματικά εισχωρούν σε κάθε πτυχή της ζωής μας, η επιστροφή σε αυτή την πηγή της λογικής αυστηρότητας είναι πιο επίκαιρη από ποτέ.
Η μελέτη τους δεν συνιστά μια νοσταλγική ματιά στο παρελθόν, αλλά μια επένδυση στην ίδια τη μεθοδολογία που επιτρέπει την επιστημονική και τεχνολογική πρόοδο. Είναι, με λίγα λόγια, το θεμέλιο πάνω στο οποίο χτίστηκε ο δυτικός πολιτισμός όπως τον γνωρίζουμε.
Όπως είπε ο μεγάλος μαθηματικός Carl Friedrich Gauss, «τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία αριθμών είναι η βασίλισσα των μαθηματικών». Θα μπορούσε κανείς να προσθέσει: τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη είναι ο θρόνος πάνω στον οποίο κάθεται αυτή η βασίλισσα.
Η κληρονομιά τους θα συνεχίσει να εμπνέει γενιές μαθηματικών, επιστημόνων και φιλοσόφων για όσο υπάρχει ανθρώπινη διάνοια.
📚 Διαβάστε επίσης:
📖 Σας άρεσε το άρθρο;
Μοιραστείτε το με φίλους που αγαπούν τα μαθηματικά και την ιστορία της επιστήμης!
#Ευκλείδης #ΣτοιχείαΕυκλείδη #Γεωμετρία #ΑξιωματικήΜέθοδος #ΠυθαγόρειοΘεώρημα #ΑλγόριθμοςΕυκλείδη #Μαθηματικά #Αριθμομαγεία #ΕΜΠ
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου