Οι Αριθμοί Επαναλαμβανόμενων Μονάδων και η Μαθηματική Συμμετρία τους

Από την απλότητα των μονάδων στη γέννηση παλίνδρομων «βουνών» αριθμών

Οι αριθμοί επαναλαμβανόμενων μονάδων—αριθμοί που αποτελούνται αποκλειστικά από το ψηφίο 1, όπως 11, 111, 1111 κ.ο.κ.—αποτελούν ένα από τα πιο γοητευτικά φαινόμενα της θεωρίας αριθμών. Παρά την απλή τους μορφή, κρύβουν ιδιότητες που δημιουργούν ιδανικά παραδείγματα συμμετρίας, κανονικότητας και αισθητικής μέσα στην αριθμητική.

Ένα από τα πιο διάσημα παραδείγματα είναι το υπέροχο τετράγωνο:

$$\mathbf{111}.111.{\mathbf{111}}^{\mathbf{2}}=\mathbf{12.345}.\mathbf{678}.\mathbf{987}.\mathbf{654}.\mathbf{321}$$

Το αποτέλεσμα μοιάζει με αριθμητική πυραμίδα. Τα ψηφία ανεβαίνουν από το 1 έως το 9 και κατεβαίνουν πάλι ως το 1, σχηματίζοντας έναν τέλειο παλίνδρομο αριθμό.

---

Τι είναι ο αριθμός επαναλαμβανόμενων μονάδων;

Στη μαθηματική βιβλιογραφία οι αριθμοί αυτοί συμβολίζονται συνήθως ως:

$$R_n = \underbrace{11\cdots1}_{n\text{ φορές}}$$

όπου το $n$ είναι το πλήθος των ψηφίων.

Παραδείγματα:

• $R_1 = 1$
  

• $R_2 = 11$
  

• $R_3 = 111$
  

• $R_9 = 111\,111\,111$
  

• $R_{12} = 111\,111\,111\,111$
  

Αν και φαίνονται απλοϊκοί, η αριθμητική τους δομή έχει βαθιά κανονικότητα.

---

Γιατί το τετράγωνό τους είναι τόσο συμμετρικό;

Το μυστικό βρίσκεται στον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί ο πολλαπλασιασμός:

Όταν πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 111…1 με τον εαυτό του, σχηματίζονται διαδοχικά επίπεδα προσθέσεων που δημιουργούν μια «κλιμακωτή» διάταξη. Για παράδειγμα, για το $R_5 = 11111$:

          11111 × 11111
=       11111
  +     11111
  +    11111
  +   11111
  +  11111
-----------------------
      123454321

Τα αθροιστικά βήματα δημιουργούν φυσικά τη σειρά:

$$1,12,123,1234,12345$$

Μετά τη μέση, η διαδικασία «αντιστρέφεται», δημιουργώντας:

$$\dots 54321$$

Έτσι προκύπτει ένας παλίνδρομος αριθμός με απόλυτη αριθμητική ισορροπία.

---

Το «βουνό των παλινδρομικών τετραγώνων»

Οι αριθμοί $R_n$ δίνουν μια καταπληκτική ακολουθία τετραγώνων:

• $R_1 = 1$:    $1^2=1$

• $R_2 = 11$:   ${11}^2=121$

• $R_3 = 111$:  ${111}^2=12321$

• $R_4 = 1111$: ${1111}^2=1234321$

• $R_5 = 11111$: ${11111}^2=123454321$

• $R_6 = 111111$:
    ${111111}^2=12345654321$

Και η κορωνίδα των «όμορφων» τετραγώνων:

$$\mathbf{111,111,111^2 = 12,345,678,987,654,321}$$

Μια αριθμητική συμμετρία τόσο τέλεια που μοιάζει σχεδόν κατασκευασμένη—και όμως είναι απλώς το αποτέλεσμα της δομής των μονάδων.

---

Ιστορική και θεωρητική διάσταση

Οι αριθμοί επαναλαμβανόμενων μονάδων μελετώνται:

• Για τις ιδιότητές τους στη θεωρία αριθμών

• Στο πλαίσιο των κυκλικών αριθμών

• Στην ανάλυση ψηφιακών μοτίβων

• Στη μελέτη πρώτων αριθμών

Κάποιοι από τους αριθμούς $R_n$ είναι πρώτοι· αυτοί ονομάζονται repunit primes (στα ελληνικά: πρώτοι αριθμοί επαναλαμβανόμενων μονάδων).
Παράδειγμα:
$R_2 = 11$, $R_{19}$, $R_{23}$ είναι πρώτοι.

Ωστόσο η πλειονότητα των repunits είναι σύνθετοι.

---

Γιατί μας γοητεύουν;

Οι παλίνδρομοι αριθμοί και οι αριθμοί επαναλαμβανόμενων μονάδων ξεχωρίζουν γιατί:

• παντρεύουν απλότητα και πολυπλοκότητα

• εμφανίζουν τέλεια συμμετρία

• αποκαλύπτουν μοτίβα που γεννιούνται από στοιχειώδεις δομές

• δίνουν όμορφα παραδείγματα για την εισαγωγή στην αριθμητική θεωρία

Όπως συχνά συμβαίνει στα μαθηματικά, η ομορφιά δεν κρύβεται στη δυσκολία, αλλά στην ανακάλυψη ότι μια τόσο απλή μορφή —μόνο μονάδες!— οδηγεί σε τόσο εντυπωσιακά αποτελέσματα.